Peluang, Permutasi & Kombinasi Matematika

A. KAIDAH PENCACAHAN
1. Aturan Pengisian Tempat
Andi diundang menghadiri acara ulang tahun temannya. Andi mempunyai tiga buah baju dua buah celana.
Baju     : Merah, Kuning, Ungu
Celana : Hitam, Biru
Ada berapa cara Andi dapat mamasang-masangkan baju dan celananya?
Penyelesaian:
Banyaknya pasangan celana dan baju  yang dapat dipakai Andi ada 6 yaitu:
{(hitam, kuning), (hitam, merah), (hitam, ungu),(biru, kuning), (biru, merah), (biru, ungu)}
2. Faktorial
Definisi:
n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
1! = 1 dan 0! = 1
Untuk lebih memahami tentang faktorial, perhatikan contoh berikut.
1. 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
2. 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 × 2 × 1 = 6 × 2 = 12
       7!       7×6×5×4×3×2×1
3.  —— = ———————— = 7 × 6 × 5 = 210
       4!            4×3×2×1 
3. Permutasi
Dari 5 orang calon pengurus akan dipilih 3 orang untuk menempati posisi sebagai ketua, sekretaris, dan bendahara. Ada berapa banyak cara memilih pengurus ?
Penyelesaian:
Untuk menjawab hal tersebut marilah kita gambarkan 3 tempat kosong yang akan diisi dari 5 calon pengurus yang tersedia.

5

x

4

x

3

Kotak (a) dapat diisi dengan 5 calon karena calonnya ada 5
Kotak (b) dapat diisi dengan 4 calon karena 1 calon sudah diisikan di kotak (a).
Kotak (c) dapat diisi dengan 3 calon karena 2 calon sudah diisikan di kotak sebelumnya. 
Sehingga banyaknya susunan pengurus kelas adalah 5 × 4 × 3 = 60. 
Susunan semacam ini disebut permutasi karena urutannya diperhatikan, sebab ketua, sekretaris, bendahara tidak sama dengan sekretaris, ketua, bendahara.
a. Permutasi r unsur dari n unsur berbeda
Permutasi pada contoh ini disebut permutasi 3 dari 5 unsur dan
dinotasikan dengan  P(5.3) atau 5P3, sehingga:

5P3 = 5 × 4 × 3
      = 5 × (5 – 1) × (5 – 2)
      = 5 × (5 – 1) × …..× (5 – 3 + 1),
Secara umum dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
Banyaknya permutasi dari n unsur diambil r unsur dinotasikan:
nPr = n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)
Atau dapat juga ditulis:
                                                                       (n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1
nPr =n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1) x           ——————————
                                                                       (n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1

           n (n – 1) (n – 2) (n – 3) … (n – r + 1)(n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1
nPr =   ——————————————————————————————————————
                                 (n – r) (n – r – 1)  … 3.2.1

           n!
nPr =————
        (n – r)!

Contoh:
Akan disusun berjajar bendera  negara-negara: Inggris, Prancis, Jerman, Belanda, Spanyol dan Yunani. Tentukan banyaknya cara memasang bendera tersebut jika bendera Inggris dan Prancis harus selalu  berdampingan !
Penyelesaian:
Banyaknya negara ada 6 tetapi Inggris dan Prancis harus berdampingan sehingga Inggris dan Prancis dihitung 1. Jadi banyaknya negara ada 5,
untuk menyusun benderanya 5P5 = 5!
Inggris dan Prancis dapat bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 5! x 2!
                            = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
                            = 240  
b. Permutasi Jika Ada Unsur yang Sama
Untuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama, marilah kita lihat contoh berikut.
Berapakah banyaknya kata yang dapat disusun dari huruf-huruf pembentuk kata: A, D, A, M  ?
Penyelesaian:
Banyaknya kata = {(ADAM), (ADMA), (AMAD), (AMDA), (AAMD), (AADM), (DAAM), (DAMA), (DMAA), (MAAD), (MADA), (MDAA)}
ternyata banyaknya kata hanya ada 12, hal ini berbeda kalau tidak ada huruf yang sama banyaknya cara ada 4! = 24
Dari contoh dapat dijabarkan 12 = 4 × 3 atau permutasi 4 unsur dengan 2 
                             4!
unsur sama ditulis:  —
                             2!
Secara umum banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama dapat ditentukan dengan rumus:
            n!
 P =    ————
         k! l! m! 
Perhatikan simulasi berikut!
Contoh 6:
Berapakah banyaknya kata yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pembentuk kata MATEMATIKA?
Penyelesaian:
MATEMATIKA
Banyak huruf =10 
banyak M = 2
banyak A =3
banyak T = 2
        10!      10 x 9 x 8 x 7 x 6 x  5 x 4 x 3 x 2 x 1
 P = ———— = ———————————————————————
      2! 3! 2!            2 x 1 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
       

      628800
 P = ———— = 151200
         24             
Banyaknya kata yang dapat dibentuk ada 151200 kata

c. Permutasi Siklis 
Andi, Budi dan Candra hendak duduk mengelilingi sebuah meja. Berapakah banyak cara mereka  dapat duduk mengelilingi meja tersebut?
Kalau mereka duduk berjajar banyaknya cara ada 3! = 6 yaitu
{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}
Bagaimana kalau mereka mengelilingi sebuah meja ?
Kemungkinan 1 diperoleh bahwa ABC = CAB = BCA
Kemungkinan 2 diperoleh bahwa ACB = CBA = BAC
Sehingga banyak cara mereka duduk hanya ada 2 cara
ternyata banyaknya cara 3 orang duduk mengelilingi sebuah meja = (3 - 1)!
Secara umum banyaknya permutasi siklis dapat ditentukan dengan rumus:
        
  P= (n - 1)!
Contoh 7:
Berapakah banyaknya cara 8 orang dapat duduk mengelilingi api unggun jika 2 orang tertentu harus selalu berdampingan?
Penyelesaian:
Banyaknya orang ada 8 tetapi dua orang tertentu harus berdampingan (dihitung satu) sehingga banyaknya orang ada 7,
Permutasi siklis 7 orang = (7 - 1)!
Dua orang yang berdampingan dapat bertukar posisi sebanyak 2!
Banyaknya cara = 6! x 2!
                            = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1
                            = 1440

4. Kombinasi 
Ada tiga sahabat yang baru bertemu setelah sekian lama, mereka adalah
Adi, Budi, dan Candra. Saat bertemu mereka saling berjabat tangan, tahukah kamu berapa banyak jabat tangan yang terjadi?
Adi berjabat tangan dengan Budi ditulis {Adi, Budi}.
Budi berjabat tangan dengan Adi ditulis {Budi, Adi}.
Antara {Adi, Budi} dan {Budi, Adi} menyatakan himpunan yang sama, hal ini disebut kombinasi. Di lain pihak {Adi, Budi}, {Budi, Adi} menunjukkan urutan yang berbeda yang berarti merupakan permutasi yang berbeda.
Dari contoh dapat diambil kesimpulan:
Permutasi  = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Adi,
                     Budi – Candra, Candra – Adi, Candra – Budi
                   = 6 karena urutan diperhatikan
Kombinasi = Adi – Budi, Adi – Candra, Budi – Candra
                   = 3 karena urutan tidak diperhatikan
                       6      permutasi
Kombinasi = 3 =—    = ——————
                       2             2
Jadi kombinasi dari 3 unsur diambil 2 unsur ditulis:
        3P2              3!
3C2 = ——     =     ————
         2           2! (3 − 2)!

Secara umum dapat disimpulkan bahwa:
Banyaknya kombinasi dari n unsur yang berbeda diambil  r unsur
                             n
ditulis  dengan C  atau C(n. r) atau nCr, sehingga:
                             r

          P             n!
nCr =————  =  ————
          r!        (n - r)! r!

Perhatikan contoh soal berikut untuk lebih memahami tentang kombinasi.
Contoh 8:
1. Hitunglah nilai dari:
    a. 8C4
    b. 6C2 × 4C3
Penyelesaian:
                 8!                 8!               8 x 7 x 6 x  5 x 4 x 3 x 2 x 1
a. 8C4 =   ————     =     ———     =     —————————————————— =    70

            (8 - 4)! 4!        4! 4!                4 x 3 x 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1

                       6!                  4!               6 x  5 x 4 x 3 x 2 x 1    4 x 3 x 2 x 1
b. 6C2 × 4C3 =  ————      x     ————     =   —————————————  x ————————= 70

                    (6 - 2)! 2!      (4 - 3)! 3!        4 x 3 x 2 x 1 x  2 x 1    1 x 3 x 2 x 1

Penyelesaian:
             10!              
10C3 =  —————
        (10 - 3)! 3!

               10!              
           =—————
               7! 3!

            10 x 9 x 8 x 7!
           =————————— 

              7! 3 x 2 x 1

              720
           =———
                6
  
      = 120

Contoh 10:
Dalam pelatihan bulutangkis terdapat 8 orang pemain putra dan 6 orang pemain
putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk:
a. ganda putra
b. ganda putri
c. ganda campuran
Penyelesaian:
a. Karena banyaknya pemain putra ada 8 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:

                8!               8 . 7 . 6 !         56
     8C2 =————      =     ——————       = —— = 28

           (8 - 2)! 2!          6! . 2. 1           2


b. Karena banyaknya pemain putri ada 6 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:

                 6!           6 . 5 . 4 !     30
     6C2 =——————  = ——————— = —— = 15

           (6 - 2)! 2!       4! . 2. 1       2

c. Ganda campuran berarti 8 putra diambil satu dan 6 putri diambil 1, maka:

                       8!                     6!                8!          6!
     8C1 x 6C1 =————      x     ——————    =    ——    x   ——     =    8 x 6 = 48

                    (8 - 1)! 1!       (6 - 1)! 1!          7!           5!


Contoh 11:
Dari 7 siswa putra dan 3 siswa putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota tim tersebut paling banyak 2 orang putri, berapakah banyaknya cara mambentuk tim tersebut?
Penyelesaian:
Karena anggota tim ada 5 dan paling banyak 2 putri maka kemungkinannya adalah: 5 putra atau 4 putra 1 putri atau 3 putra 2 putri
Banyak cara memilih 5 putra =7C5
Banyak cara  memilih 4 putra 1 putri =7C4  . 3C1
Banyak cara  memilih 3 putra 2 putri =7C3  . 3C2

Banyak cara = 7C5  + 7C4  . 3C1  + 7C3  . 3C2    

                             7!                   7!                     3!                   7!                     3!
                      = ——————    +  ——————     x    ——————  +       —————       x   —————

                       (7 - 5)! 5!         (7 - 4)! 4!          (3 - 1)! 1!         (7 - 3)! 3!         (3 - 2)! 2!

               
                          7 . 6 . 5!     7 . 6 . 5 . 4!    3 . 2 . 1    7 . 6 . 5 . 4!     3 . 2 . 1
                      = ——————— + ———————  x  ————  +  ————————    x ————

                         2 . 1 . 5!      3 . 2 . 1 . 4!      2 . 1      4! . 3 . 2 . 1        2 . 1

                      = 105 + 105 + 21 = 231

Jadi banyaknya cara membentuk tim ada 231 cara

B. RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN
1. Ruang Sampel
Tahukah kamu, apa saja yang mungkin muncul ketika sebuah dadu dilempar sekali ?
Kemungkinan yang muncul adalah mata dadu 1, 2, 3, 4, 5 atau 6.
Jadi banyaknya himpunan semua kejadian yang mungkin pada pelemparan sebuah dadu sekali ada 6.
Himpunan semua kejadian yang mungkin dari suatu percobaan disebut Ruang Sampel atau Ruang Contoh biasa diberi lambang huruf S
Bagaimana kalau sebuah koin uang logam  dilemparkan sekali, apa saja yang mungkin muncul?
S = {Angka, gambar}
n(S) = 2

2. Kejadian
Kejadian merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
Contoh 14:
Dua buah dadu dilemparkan bersamaan sekali, tentukan kejadian munculnya
a. jumlah kedua dadu 10
b. selisih kedua dadu 3
c. jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1
d. jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5
Penyelesaian:
Untuk mengerjakan soal ini kita lihat jawaban contoh 13.
a. Jumlah kedua dadu 10 ={(4, 6), (5, 5), (6, 4)}
    Jadi banyaknya kejadian ada 3
b. Selisih kedua dadu 3 ={(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 1), (5, 2), (6, 3)}
    Jadi banyaknya kejadian ada 6
c. Jumlah kedua dadu 5 dan selisihnya 1 ={(2, 3), (3, 2)}
    Jadi banyaknya kejadian ada 2
d. Jumlah kedua dadu 4 atau selisihnya 5 ={(1, 3), (2, 2), (3, 1), (1, 6), (6, 1}
    Jadi banyaknya kejadian ada 5

C. PELUANG SUATU KEJADIAN
1. Peluang Suatu Kejadian
Sebelum mempelajari peluang suatu kejadian, marilah kita ingat kembali mengenai ruang sampel yang biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel, sedangkan titik sampel adalah setiap hasil yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Jika A adalah suatu kejadian yang terjadi pada suatu percobaan dengan ruang sampel S, di mana setiap titik sampelnya mempunyai kemungkinan sama untuk muncul, maka peluang dari suatu kejadian A ditulis sebagai berikut.

          n(A)
P(A) = ———
          n(S )

Keterangan:
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyaknya anggota A
n(S) = banyaknya anggota ruang sampel S

Contoh :
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang muncul:
a. ketiganya sisi gambar;
b. satu gambar dan dua angka.

Penyelesaian:
a. S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}
    Maka n(S) = 8
    Misal kejadian ketiganya sisi gambar adalah A.
    A = {GGG}, maka n(A) = 1
                n(A)    1
    P(A) =  ——— =  —
               n(S )     8
b. Misal kejadian satu gambar dan dua angka adalah B.
     B = {AAG, AGA, GAA}, maka n(B) = 3
               n(B)        3
    P(B) =  ———  =   —
               n(S )       8

Contoh:
Andi mengikuti  acara Jalan Santai dengan doorprize 5 buah sepeda motor. Jika jalan santai tersebut diikuti oleh 1000 orang, berapakah peluang Andi mendapatkan doorprize sepeda motor?

Penyelesaian:
S = semua peserta jalan santai
maka n(S) = 1000
Misal kejadian  Andi mendapatkan motor adalah A.
A = {Motor1, Motor2, Motor3, Motor4, Motor5}
maka n(A) = 5
                n(A)           5           1
    P(A) =   ———   =   ———    = ——
                n(S )       1000       200                              
                                                                                    1
Jadi peluang Andi mendapatkan doorprize sepeda motor   ——
                                                                                   200
2. Kisaran Nilai Peluang
Untuk mengetahui kisaran nilai peluang, perhatikan soal berikut:
Contoh 18:
Sebuah dadu dilemparkan sekali, tentukan peluang munculnya
a. Mata dadu 8               b. Mata dadu kurang dari 7
Penyelesaian:
a.  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
     misal kejadian muncul mata dadu 8 adalah A
     A = { }, n(A) = 0
                 n(A)       0      
     P(A) =  ———   =  —   =  0
                n(S )      6     
     Kejadian muncul mata dadu 8 adalah kejadian mustahil, P(A) = 0
b.  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
     misal kejadian muncul mata dadu kurang dari 7 adalah B
     B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6
                   n(B)        6      
     P(B) =     ———   =  — =  1
                   n(S )       6     
    Kejadian muncul mata dadu kurang dari 7  adalah kejadian pasti, P(A) = 1

Jadi kisaran nilai peluang: 0  ≤  P(A) ≤ 1

3. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan dari sejumlah kejadian merupakan banyaknya kejadian dikalikan dengan peluang kejadian itu. Misalnya pada percobaan A dilakukan n kali, maka frekuensi harapannya ditulis sebagai berikut.

  Fh = n × P(A)

Contoh 19:
Pada percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus sebanyak 240 kali, tentukan frekuensi harapan munculnya dua gambar dan satu angka.
Penyelesaian:
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG} ⇒ n(S) = 8
A = {AGG, GAG, GGA} ⇒ n(A) = 3
                                    n(A)            3
Fh(A) = n × P(A) = 240 ×  —— = 240 ×  — =  90 kali
                                    n(S)            8

4. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Untuk mempelajari peluang komplemen, perhatikan contoh berikut.
Contoh:
Pada pelemparan sebuah dadu sekali, berapakah peluang munculnya:
a. nomor dadu ganjil,
b. nomor dadu tidak ganjil?
Penyelesaian:
a.  S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, maka n(S) = 6.
     A adalah kejadian  keluar nomor dadu ganjil
     A = {1, 3, 5}, maka n(A) = 3 sehingga
                 n(A)        3        1
     P(A) =  ———   =   —   =   —
                n(S )        6        2

b.  B adalah kejadian  keluar nomor dadu tidak ganjil
     B = {2, 4, 6}, maka n(B) = 3 sehingga
                n(B)        3        1
     P(B) =  ———   =  —  =    — , Peluang B adalah Peluang komplemen dari A
                n(S )       6        2
Dari contoh tersebut kita dapat mengambil kesimpulan bahwa:

                      
 P(A) + P(AC) = 1 atau P(AC) = 1 – P(A)

Contoh:
Pada pelemparan 3 buah uang sekaligus, tentukan peluang munculnya  paling
sedikit satu angka !
Penyelesaian:
Cara biasa
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8
Misal kejadian paling sedikit satu angka adalah A.
A = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA}, maka n(A) = 7
           n(A)        7
P(A) =  ———   =  —
           n(S )       8

Cara komplemen
S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}, maka n(S) = 8
Misal kejadian paling sedikit satu angka adalah A.
Ac = {GGG}, maka n(Ac) =1

            n(Ac)        1
P(Ac) =  ———   =   —
             n(S )       8

                                1        7
P(A) = 1 – P(Ac) = 1 –  —   =   —
                                8        8

5. Peluang Kejadian Majemuk
a. Peluang Gabungan 2 kejadian
Misal A dan B adalah dua kejadian yang berbeda, maka peluang kejadian
A ∪  B ditentukan dengan aturan:

 P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Contoh: 
Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima!
Penyelesaian:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan prima : {2, 3, 5} → P(B) =3/6                               
A∩B = {3, 5} → P{A∩B} = 2/6
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
               = 3/6 + 3/6  – 2/6 = 4/6 = 2/3
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah 2/3 

Contoh:
Diambil sebuah kartu dari 1 set kartu bridge, tentukan peluang terambilnya kartu As atau kartu Hati!
Penyelesaian:n(S) = 52 (karena banyaknya kartu dalam 1 set kartu bridge 52)
A = kartu As, n(A) = 4 (Banyaknya kartu As dalam1 set kartu bridge 4)
           4
P(A) =  —
          52
B = kartu Hati, n(B) = 13 (Banyaknya kartu Hati dalam1 set kartu bridge 13)
           13
P(B) =   —
           52                         
n(A∩B) = 1 (Banyaknya Kartu As dan  Hati dalam1 set kartu bridge 1)
               1
P(A∩B) =  —
              52                                                
                                                 4       13         1      16
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = —— +   ——   –  —— =  ——
                                                52      52        52      52       
                                                                                          16       
Jadi peluang kejadian terambilnya kartu As atau Hati  adalah  ——
                                                                                          52

b. Peluang Kejadian Saling Lepas (Saling Asing)
Kejadian A dan B saling asing jika kedua kejadian tersebut tidak mungkin terjadi bersama-sama. Ini berarti A∩B = 0  atau P(A∩B) = 0
Sehingga: P (A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) = P(A) + P(B) – 0
  P (A∪ B) = P(A) + P(B)

Contoh:
Sebuah dadu dilambungkan sekali, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan genap. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap!
Penyelesaian:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = bilangan ganjil : {1, 3, 5} → P(A) = 3/6
B = bilangan genap : {2, 4, 6} → P(B) =3/6                               
A∩B = {} → P(A∩B) = 0 (A dan B kejadian saling lepas)
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
               = 3/6 + 3/6 = 1
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau genap adalah 1
Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola kuning dan 1 bola biru. Akan diambil sebuah bola secara acak. Tentukan peluang terambilnya bola merah atau bola kuning!
Penyelesaian:
                      8!              8!           8 . 7!
n(S) = 8C1 =  ————   =   ————   =   ——— =  8
                  1!(8- 1)!      1 . 7!           7!
Misal kejadian terambilnya kelereng merah adalah A, maka:
                            5!             5!                      n(A)       5         
    n(A) = 5C1 =   ————    =     —   = 5,    P(A) = ——— =   —
                       1!(5 - 1)!        4!                      n(S)       8             
Misal kejadian terambilnya kelereng kuning adalah B, maka:
                            2!             2!                       n(B)         2           
    n(B) = 2C1 =   —————   =    —   = 2,    P(B) = ———   =    — 

                        1!(2 - 1)!       1!                       n(S)         8            
A∩B = {}  (Kejadian saling lepas)
                                     5           2         7
P(A∪ B) = P(A) + P(B)  =   —   +     —   =    — 
                                     8           8         8                   7
Jadi peluang terambilnya bola merah atau bola kuning   —
                                                                                 8
c. Peluang Kejadian Saling Bebas
Jika kejadian A tidak memengaruhi terjadinya kejadian B dan sebaliknya, atau terjadi atau tidaknya kejadian A tidak tergantung pada terjadi atau tidaknya kejadian B maka dua kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Hal ini seperti digambarkan pada pelemparan dua buah dadu sekaligus.
A adalah kejadian munculnya dadu pertama angka 3 dan
B adalah kejadian munculnya dadu kedua angka 5
maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian yang saling bebas, dan peluang kejadian ini dapat dirumuskan:

  P(A∩B) = P(A) × P(B)

Coba kamu pelajari contoh berikut untuk lebih memahami tentang kejadian saling bebas.
Contoh:
Dua buah dadu dilemparkan bersama-sama, tentukan peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5 pada dadu kedua!
Penyelesaian: 
Kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama tidak terpengaruh kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua jadi ini adalah dua kejadian yang saling bebas
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ….., (6, 6)} → n(S) = 36
Misal kejadian munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama adalah A, maka:
                                                                                              6        1
A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6)} → n(A) = 6  P(A) = — =     —
                                                                                             36        6
Misal kejadian munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua adalah B, maka:
                                                                                              6         1
B = {(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} → n(B) = 6  P(B) = —   =    —     
                                                                                              36        6

                                 1          1           1         
P(A∩B) = P(A) × P(B) = —  ×      —  =      —
                                 6          6          36        
                    
Jadi peluang munculnya mata dadu 3 pada dadu pertama dan mata dadu 5
                              1
pada dadu kedua =  ——
                             36
Contoh:Kotak A berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning sedangkan Kotak B berisi 5 bola merah dan 2 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak dari masing-masing kotak. Tentukan peluang terambilnya bola merah dari kotak A dan terambilnya bola kuning dari kotak B!
Penyelesaian:Kotak A
                        8!                 8!              8 . 7!
n(S) = 8C1 =    ————     =    ————    =    ————     =  8

                     1!(8- 1)!         1 . 7!             7!
Misal kejadian terambilnya bola merah dari kotak A adalah A, maka:
                           5!              5!                      n(A)         5         
    n(A) = 5C1 =   —————   =   —   = 5,    P(A) = ———   =    — 

                        1!(5 - 1)!       4!                      n(S)         8 
Kotak B
                       7!             7!          7 . 6!
n(S) = 7C1 =  ————   =   ————   =  ——— =  7
                  1!(7- 1)!       1 . 6!         6!          
Misal kejadian terambilnya bola kuning dari kotak B adalah B, maka:
                            2!            2!                     n(B)         2           
    n(B) = 2C1 =  ————    =     — = 2,    P(B) = ———   =    —
                       1!(2 - 1)!      1!                      n(S)         7            
                                    5         2        5         
P(A∩B) = P(A) × P(B) =    —   ×   —  =    —
                                    8        7        28

6. Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadian disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi adalah:
                P(A∩B)     
 P(A/B) =   ————  P(B) ≠ 0
                  P(B)     

Atau Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah terjadi adalah:
                P(A∩B)     
 P(B/A) =   ————  P(A) ≠ 0
                  P(A)     

Contoh:
Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Akan diambil sebuah bola secara acak berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian . Tentukan peluang terambilnya keduanya bola merah!
Penyelesaian:                    
Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan pertama adalah A, maka:
               n(A)        5         
     P(A) = ———  =   —
               n(S)        8 

Misal kejadian terambilnya bola merah pada pengambilan kedua adalah B, maka:
                   n(B/A)      4         
     P(B/A) =   ———    =  —
                     n(S)        7
                                      5           4          5         
P(A∩B) = P(A) × P(B/A) =  —     ×    —    =    —
                                      8           7         14        

Twenty!

Hai 20!
Apa kamu punya ingatan tentang nomor itu?
Tanggal itu?
Atau kejadian di tanggal itu?
Sebenarnya munafik kalau aku bilang aku lupa semua
Tp salah kalau aku terus mengingatnya!
Lalu
Apa aku harus menghapus setiap angka 20 di setiap tanggal atau apapun yang aku liat?
Rasa-rasanya itu gila jika benar-benar kulakukan.
Esok kan terjawab
Apa ini namanya rindu atau sekedar flashback sementara.
Yah semoga hanya sementara
Karna semua tak ada yang abadi.
Salam rindu buat kamu hey 20ku. 

Pesan untuk Calon Suamiku

Teruntuk kamu,
Yang dipertemukan Tuhan untukku
Kamu yang akan mendampingi hidupku
Dan kamu pemilik tulang rusukku

Usia memang bukan satu satunya jaminan kedewasaan
Usia bukan ukuran kapan kita menikah
Tapi bagaimana kesiapan dan kematangan kita membangun keluarga kecil,
Dalam nama Tuhan kita.

Hidup tak selamanya sama
Kadang diatas kadang dibawah
Kadang wanita terlihat cantik
Dan ada waktunya akan timbul keriput di wajahnya
Kadang pria akan terlihat kekar
Dan ada saatnya akan bungkuk dan tak bertenaga

Mampukah kau mencintaiku?
Bukan mencintai apa adanya, tetapi selalu mencintaiku
Hari ini, esok, dan seterusnya.
Mencintaiku setelah kau mencintai Tuhan dan keluargamu.

Bisakah kita untuk terus saling menjaga
Untuk tidak saling menyalahkan
Untuk saling percaya
Untuk terus berkompromi
Disaat banyak kekacauan di dalam rumah tangga nanti?
Bisakah kau menjadi pengemudi keluarga
Dan aku penumpang sekaligus ikut serta membawa petanya?

Mampukah kau mendampingiku,
Disaat aku bawel karna nyidam sana sini.
Disaat aku lelah dan masak tak karuan
Disaat aku menangis karna sakitnya melahirkan?
Disaat rambutku mulai memutih dan wajahku berkeriput.

Sama halnya aku mendampingimu,
Disaat rambutmu mulai memutih,
Disaat kamu berjalan dengan tongkat
Disaat gigi kita berkurang satu persatu
Disaat kamu ngompol atau bahkan berak pun
Aku tetap menjagamu
Bukan hanya karna kamu suamiku
Tapi karna aku mencintaimu
Sebagai titipan Ilahi.

TITIPAN ILAHI

Seluruh jiwaku
Niat dan baktiku
Kupersembahkan hanya untukmu
Harta dan budiku
Tidak ada yang bisa
Mengalahkan Tuhan Rajaku
Hadapilah hai manusia
Hidup hanya sementara
Relakan semua yang terjadi
Karna semua hanyalah miliknya
Tidak ada sesuatu
Yang abadi
Semua hanya titipan Ilahi

a.n.d.a.i

Andai sore itu aku tak mempermasalahkan jalanmu dengan teman perempuanmu
Andai malam itu aku tak sembarangan memutuskan sesuatu
Andai aku bisa menahan kata-kata dan emosiku
Andai aku
Andai,
Andai
Aku terus berandai andai
Apa aku tampak seperti orang yang tak ikhlas?
Yah mungkin seperti itu.
Sebentar aku mengenalmu
Sebentar pula aku mengenalmu lebih jauh,
Tp begitu lama aku berusaha melupakanmu
Oh tidak, maksudku mengikhlaskanmu
Bayangan itu terus muncul
Aku terus menolak
Tapi malam ini. Bayangan itu benar benar mengusikku.
Yah aku merindukanmu dan
Aku masih terus berandai andai

240416

mawar putih

Entah apa dan kenapa!?! Mendadak pengen tau arti warna mawar putih.
Pagi ini (30 maret 2016 3.53am WIB) ngeliat foto mawar putih yang pernah dikasih seseorang ke aku. Jujur ya cowok yang pertama kasih mawar putih itu baru satu orang.. yang lain mawar merah, bunga lily, bunga bangkai. Candaaa hahahaha. Kalau bunga lily jelas karna aku suka bunga lily. Mawar merah itu udah biasa ya. Tp ini mawar putih. Artinya apa sih mawar putih tu? Nah langsung lah aku google pagi pagi buta dengan mata ngajak ribut karna awalnya ngantuk jadi pengen tau banget.. hahaha.

Akhirnya aku menemukan beberapa artikel tentang arti warna mawar. Dari sekian artikel yang aku baca. Kebanyakan menuliskan kalau arti mawar putih itu cinta sejati yang penuh ketulusan, kemurnian, kesucian dan kerendahan hati. Mungkin maksud si doi ngasi mawar putih tu itu ya. Mingkin.. atau sekedar pengen terlihat romantis juga bisa 😆. Cara ngasihnya pun juga unik. Hahaha. Jadi dia datang kerumah. Udah masuk rumah dan aku nemuin dia, tau tau dia minta tolong buat ambilin barang yg ketinggal di jok motornya. Batinku ini anak aneh ya kok ambil barang aja mesti aku. Padahal dia dah duduk di ruang tamu lumayan lama karna nunggu aku mandi. Hahaha. Karna aku usil aku bilang aja "joknya ga bisa dibuka ni!" ||"masa sih? Coba lagi deh" sambil dia keluar rumahm lah dia udah keluar rumah tp kenapa ga buka joknya sendiri. Makin ketauan banget ada sesuatu di dalam joknya. Pas aku buka taraaaaa ada mawar putih dan selembar amplop. Tenang isinya bukan duit kok tapi itu buat dasar tulisan yang soksweet gitu. Warna tulisannya ijo sesuai dengan warna kesukaanku. 😆. Kalau bunganha bukan bunga kesukaanku sih. Mungkin maksud mawar putih itu ya yang aku bahas di atas.

Nah tapi apa dikata ya. Orang kan punya keinginan tapi kenyataan ga selamanya sejalan ma yang kita inginkan. Bukan begitu?
Hubungan kita ga bisa berlangsung sampai kejenjang yang lebih serius. kalau secara personal orangnya asik, ramah, supel, tegas. Kalau kata dia sendiri sih dia ngakunya ganteng. Hahahah. Dan ada kata kata yang aku inget banget waktu malam terakhir dia datang ke rumah "setidaknya kamu pernah pacaran ma orang ganteng" hahahha batinku 'ngekek' (re: tertawa terbahak-bahak). Anak ini freak juga ya. Hahaha. Haduhhh abang, sini tak gigit dulu biar kamu kembali ke alam sadarmu. Hahahah..

Sebetulnya nulis ini maunya apa juga bingung. Kangenkah? Isengkah? Gabut kah? Ya kali niat jam segini ngeblog.. beginilah kalau pagi mata masih berkeliaran. Yang dipikirin banyak bener tapi yang terselesaikan sedikit. Hahahaha. 😜. Semoga km dapet cewe yang pass buat km. Tp yang terpenting bukan ini sih. Tp semoga kamu cepet lulus kuliah dulu, cari kerja, bafu mikir pacaran lagi ya nak ya. Hehehe.

Kau dan Mawar Berduri

Kau genggam mawar dengan tawa
Kau tak melihat ada duri disana
Mahkotanya yang indah
Membuat banyak orang tertarik
Tapi, apakah kau sadar
Dengan duri yang dimilikinya
Apa kau tak peduli?
Kenapa tetap kau genggam?
Semakin erat kau genggam
Semakin kau terluka
Bukankah duri itu menyakitkan?
Iya menusuk membuat luka
Dan berdiam dengan enaknya
Kenapa tak kau lepas?
Jangan kau buat luka ditanganmu
Berhentilah menggenggamnya
Mawar hanya indah untuk dipandang
Tapi tak baik bila terus kita genggam